1850. Сторона BC
параллелограмма ABCD
вдвое больше стороны AB
. Биссектрисы углов A
и B
пересекают прямую CD
в точках M
и N
, причём MN=12
. Найдите стороны параллелограмма.
Ответ. 4, 8, 4, 8.
Указание. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Решение. Пусть биссектриса угла A
пересекает сторону BC
в точке P
, прямую CD
— в точке M
. Обозначим AB=CD=a
. Тогда BC=AD=2a
. Поскольку \angle BPA=\angle DAP=\angle BAP
, то треугольник ABP
— равнобедренный. Поэтому
BP=AB=a,~PC=BC-BP=2a-a=a.
Треугольники PMC
и PAB
равны по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому MC=AB=a
. Аналогично докажем, что DN=a
. Следовательно,
MN=MC+CD+DN=a+a+a=3a=12,
откуда находим, что a=4
.
