1857. Вершины M
и N
равнобедренного треугольника BMN
(BM=BN
) лежат соответственно на сторонах AD
и CD
квадрата ABCD
. Докажите, что MN\parallel AC
.
Указание. Докажите равенство прямоугольных треугольников ABM
и CBN
.
Решение. Прямоугольные треугольники ABM
и CBN
равны по катету и гипотенузе, поэтому \angle AMB=\angle CNB
. Значит,
\angle DMN=180^{\circ}-\angle AMB-\angle BMN=180^{\circ}-\angle CNB-\angle BNM=\angle DNM.
Значит, треугольник DMN
— равнобедренный, а так как он прямоугольный, то
\angle DNM=45^{\circ}=\angle ACD.
Следовательно, MN\parallel AC
.