1872. Через произвольную точку внутри квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает две противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключённые внутри квадрата, равны.
Решение. Через точку X
, расположенную внутри квадрата ABCD
, проведём две взаимно перпендикулярные прямые. Пусть первая прямая пересекает стороны AB
и CD
в точках соответственно P
и Q
, а вторая — стороны BC
и AD
в точках соответственно R
и S
. Докажем, что PQ=RS
.
Пусть E
— проекция точки Q
на AB
, а F
— проекция точки R
на AD
. Прямоугольные треугольники PEQ
и SFR
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому PQ=RS
.
Примечание. 1. Можно и так: параллельно перенесём эти прямые, чтобы они пересекались в центре квадрата, а затем рассмотрим поворот вокруг центра на угол 90^{\circ}
.
2. Верно и обратное: если одна прямая пересекает стороны AB
и CD
квадрата ABCD
в точках P
и Q
, вторая прямая пересекает стороны BC
и AD
в точках R
и S
, и при этом PQ=RS
, то PQ\perp RS
.
(В этом случае прямоугольные треугольники PEQ
и SFR
равны по катету и гипотенузе).