1875. Докажите, что биссектрисы всех четырёх углов прямоугольника, не являющегося квадратом, при пересечении образуют квадрат.
Указание. Докажите, что углы полученного четырёхугольника прямые, а его стороны равны.
Решение. Поскольку биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом, то в пересечении образуется прямоугольник.
Опустим из вершин B
и C
прямоугольника ABCD
перпендикуляры BK
и CM
на биссектрисы углов D
и A
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников AMC
и DKB
(по гипотенузе и острому углу) следует, что MC=KB
. Длины этих отрезков — это расстояния между биссектрисами противоположных углов прямоугольника ABCD
, т. е. длины сторон прямоугольника, образованного пересечениями биссектрис. Следовательно, стороны полученного прямоугольника равны между собой, т. е. это квадрат.