1889. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна отрезку, соединяющему середины катетов.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника или свойством медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла (см. задачу 1109).
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
, а точки K
и N
— середины катетов AC
и BC
соответственно. Тогда MK
и MN
— средние линии треугольника ABC
, MK\parallel BC
, MN\parallel AC
, а так как AC\perp BC
, то MK\perp AC
и MN\perp BC
. Следовательно, четырёхугольник CNMK
— прямоугольник, поэтому его диагонали KN
и CM
равны между собой.
Второй способ. Медиана CM
прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла C
, равна половине гипотенузы AB
(см. задачу 1109), а отрезок KN
, соединяющий середины катетов AC
и BC
, — средняя линия треугольника ABC
. Следовательно, CM=\frac{1}{2}AB=KN
.