1894. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведены диаметры AC
и AD
этих окружностей. Найдите сумму отрезков BC
и BD
, если расстояние между центрами окружностей равно a
, а центры окружностей лежат по разные стороны от общей хорды AB
.
Ответ. 2a
.
Указание. Докажите, что точки C
, B
и D
лежат на одной прямой и воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
Решение. Поскольку точка B
лежит на окружностях с диаметрами AC
и AD
, то отрезки AC
и AD
видны из этой точки под прямыми углами, т. е.
\angle ABC=\angle ABD=90^{\circ}.
Поэтому точки C
, B
и D
лежат на одной прямой, а так как центры окружностей лежат по разные стороны от прямой AB
, то точка B
лежит между точками C
и D
. Значит, BC+BD=CD
.
Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей с диаметрами AC
и AD
. Тогда O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника ACD
. Следовательно,
BC+BD=CD=2\cdot O_{1}O_{2}=2a.