1899. Найдите геометрическое место середин всех отрезков, один конец которых лежит на данной прямой, а второй совпадает с данной точкой, не лежащей на этой прямой.
Ответ. Прямая, параллельная данной.
Указание. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
Решение. Пусть l
— данная прямая, A
— данная точка, не лежащая на этой прямой, B
— некоторая точка прямой l
, M
— середина отрезка AB
. Проведём через точку M
прямую m
, параллельную l
. Если C
— произвольная точка прямой l
, а N
— середина AC
, то прямая m
проходит через точку N
, так как MN\parallel l
по теореме о средней линии треугольника, а через точку M
проходит только одна прямая, параллельная l
.
Пусть теперь K
— произвольная точка прямой m
, отличная от M
. Если прямая AK
пересекает прямую l
в точке D
, то K
— середина AD
. Действительно, если это не так, то, соединив середину K_{1}
отрезка AD
с точкой M
, получим среднюю линию MK_{1}
треугольника ABD
. Тогда MK_{1}\parallel l
. Значит, точка K_{1}
совпадает с точкой K
.