1908. Высоты остроугольного треугольника ABC
, проведённые из вершин B
и C
, равны 7 и 9, а медиана AM
равна 8. Точки P
и Q
симметричны точке M
относительно сторон AC
и AB
соответственно. Найдите периметр четырёхугольника APMQ
.
Ответ. 32.
Указание. Отрезки MQ
и MP
равны данным высотам.
Решение. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
, BB_{1}=7
, CC_{1}=9
, K
и N
— середины отрезков MP
и MQ
. Тогда MK
и MN
— средние линии треугольников CBB_{1}
и CBC_{1}
соответственно, поэтому
MP=2MK=2\cdot\frac{1}{2}BB_{1}=BB_{1}=7,~MQ=2MN=2\cdot\frac{1}{2}CC_{1}=CC_{1}=9,
а так как AQ=AM=8
и AP=AM=8
, то искомый периметр равен
7+9+8+8=32.