1945. В прямоугольный треугольник с гипотенузой a
и острым углом 30^{\circ}
вписан прямоугольник, одна из сторон которого вдвое больше другой. Большая сторона прямоугольника находится на гипотенузе, а противоположные ей вершины — на катетах. Найдите стороны прямоугольника
Ответ. a\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right)
, a(2\sqrt{3}-3)
.
Указание. Обозначьте через x
меньшую сторону прямоугольника и составьте уравнение относительно x
.
Решение. Пусть вершины K
и N
прямоугольника KLMN
расположены соответственно на катетах AC
и BC
прямоугольного треугольника ABC
, вершины L
и M
— на гипотенузе AB
, AB=a
, \angle B=30^{\circ}
. Обозначим MN=x
. Тогда
LM=2x,~MB=MN\ctg30^{\circ}=x\sqrt{3},~AL=KL\ctg60^{\circ}=\frac{x\sqrt{3}}{3}.
Поскольку AL+LM+MB=AB
, получим уравнение
\frac{x\sqrt{3}}{3}+2x+x\sqrt{3}=a,
откуда находим, что
MN=x=a\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right).