1946. Докажите, что в прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу пропорциональны квадратам катетов.
Указание. Каждый катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a
, b
и гипотенузой c
. Пусть проекции катетов на гипотенузу равны a_{1}
и b_{1}
соответственно. Тогда (см. задачу 2728)
a_{1}c=a^{2},~b_{1}c=b^{2},
откуда \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a^{2}}{b^{2}}
.
Примечание. Верно и обратное: если точка H
лежит на стороне AB
треугольника ABC
, CH
— высота треугольника ABC
и при этом \frac{AH}{BH}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}
, то треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
.