1976. Теорема Паскаля для вписанного четырёхугольника. Докажите, что во вписанном четырёхугольнике точки пересечения противоположных сторон и точки пересечения касательных к описанной окружности, проведённых в противоположных вершинах, лежат на одной прямой.
Указание. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, касательные к его описанной окружности, проведённые в точках D
и B
, пересекаются в точке M
, а касательные, проведённые в точках A
и C
, — в точке M
. Докажите, применив теорему Менелая, что прямые AB
и CD
пересекают прямую MN
в одной и той же точке.
Решение. Пусть ABCD
— вписанный четырёхугольник, касательные к его описанной окружности, проведённые в точках D
и B
, пересекаются в точке N
, а касательные, проведённые в точках A
и C
, — в точке M
. Докажем, что прямые AB
и CD
пересекают прямую MN
в одной и той же точке.
Действительно, пусть P
— точка пересечения прямых CD
и MN
, S
— точка пересечения прямых MC
и ND
. Применяя теорему Менелая (см. задачу 1622) к треугольнику MNS
и прямой CD
, получим, что
\frac{MP}{PN}\cdot\frac{ND}{DS}\cdot\frac{SC}{CM}=1,
а так как DS=SC
как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, то \frac{MP}{PN}\cdot\frac{ND}{CM}=1
. Следовательно, \frac{MP}{PN}=\frac{CM}{ND}
. Аналогично докажем, что если Q
— точка пересечения прямых AB
и MN
, то \frac{MQ}{QN}=\frac{AM}{NB}
, а так как AM=CM
и NB=ND
, то \frac{MP}{PN}=\frac{MQ}{QN}
. Следовательно, точки P
и Q
совпадают. Что и требовалось доказать.
Аналогично точка пересечения противоположных сторон AC
и BD
также лежит на прямой MN
. Отсюда следует утверждение задачи.