1992. Две окружности касаются внешним образом в точке A
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает окружности в точках B
и C
. Найдите геометрическое место середин отрезков BC
.
Ответ. Окружность с диаметром OA
без точки A
, где O
— середина отрезка с концами в отличных от A
точках пересечения линии центров с данными окружностями.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов r
и R
соответственно, прямая O_{1}O_{2}
пересекает эти окружности в точках соответственно D
и E
, отличных от A
, а O
— середина отрезка DE
.
Пусть M
— проекция точки O
на прямую BC
. Поскольку \angle ABD=\angle ACE=90^{\circ}
, отрезок BC
— проекция отрезка DE
на прямую BC
, а так как O
— середина DE
, то M
— середина BC
(см. задачу 1939). Из точки M
отрезок OA
виден под прямым углом, значит, эта точка лежит на окружности с диаметром OA
.
Пусть теперь M
— произвольная точка окружности с диаметром OA
, а прямая AM
пересекает окружности в точках B
и C
, отличных от A
. Тогда M
— проекция середины O
отрезка DE
на прямую BC
, а отрезок BC
— проекция отрезка DE
на эту прямую. Следовательно, M
— середина отрезка BC
.
Таким образом, искомое геометрическое место точек есть окружность с диаметром OA
без точки A
.