1995. Вершины прямоугольника, не являющегося квадратом, расположены по одной на каждой стороне некоторого квадрата. Докажите, что стороны прямоугольника параллельны диагоналям квадрата.
Решение. Пусть вершины K
, L
, M
и N
прямоугольника KLMN
расположены соответственно на сторонах AB
, BC
, CD
и AD
квадрата ABCD
. Обозначим
AK=a,~BK=b,~BL=c,CL=d.
Тогда CM=a
, DM=b
, DN=c
и AN=d
, причём a\neq c
, так как в противном случае KLMN
— квадрат. Тогда
\frac{d}{a}=\frac{AN}{AK}=\tg\angle AKN=\tg\angle BLK=\frac{BK}{BL}=\frac{b}{c},
значит, ab=cd
. Кроме того, a+b=c+d
. Из полученных равенств следует, что либо a=c
и b=d
, что невозможно, либо a=d
и b=c
. Тогда
\angle AKN=45^{\circ},~\angle BKL=45^{\circ}.
Следовательно, KN\parallel BD
и KL\parallel AC
.