2002. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:7
, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 42. Найдите отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
Ответ. 18 и 98.
Указание. Произведение указанной высоты на гипотенузу равно произведению катетов.
Решение. Пусть катет BC=3x
, катет AC=7x
, указанная высота CD=42
. Поскольку AB\cdot CD=AC\cdot BC
, то
AB=\frac{AC\cdot BC}{CD}=\frac{21x^{2}}{42}=\frac{x^{2}}{2}.
Поскольку BC^{2}=AB\cdot BD
и AC^{2}=AB\cdot AD
, то
BD=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{9x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=18,~AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{49x^{2}}{\frac{x^{2}}{2}}=98.