2024. Параллельные стороны трапеции равны 25 и 4, а непараллельные стороны равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
Ответ. 12.
Указание. Проведите через вершину меньшего основания трапеции прямую, параллельную одной из боковых сторон, и найдите высоту отсечённого треугольника.
Решение. Из вершины C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
опустим перпендикуляр CK
на большое основание AD
. Пусть AD=25
, BC=4
, AB=20
, CD=13
.
Проведём через точку C
прямую, параллельную боковой стороне AB
, пересекающую AD
в точке M
. Тогда CK
— высота треугольника MCD
,
CM=AB=20,~MD=AD-AM=AD-BC=25-4=21.
Обозначим KD=x
. Тогда MK=21-x
,
CM^{2}-MK^{2}=CD^{2}-DK^{2},~\mbox{т. е.}~20^{2}-(21-x)^{2}=13^{2}-x^{2}.
Отсюда находим, что x=5
и
CK=\sqrt{CD^{2}-DK^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12.
Примечание. Высоту CK
можно также найти из треугольника MCD
, применив формулу Герона.