2026. В прямоугольный треугольник с углом 60^{\circ}
вписан ромб, со стороной, равной 6, причём угол в 60^{\circ}
у них общий, а все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 9, 9\sqrt{3}
, 18.
Указание. Стороны ромба отсекают от данного треугольника прямоугольные треугольники с острым углом 30^{\circ}
.
Решение. Пусть вершины N
и M
ромба BMKN
находятся на гипотенузе AB
и катете BC
треугольника ABC
, а вершина K
— на катете AC
. Поскольку
KN=6,~\angle A=30^{\circ},~KN\parallel BC,
то AN=2KN=12
. Поэтому
AB=AN+NB=6+12=18,~BC=\frac{1}{2}AB=9,
AC=AB\sin60^{\circ}=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}.