2037. В трапеции ABCD
известны основания AD=24
и BC=8
и диагонали AC=13
, BD=5\sqrt{17}
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 80.
Указание. Через вершину C
проведите прямую, параллельную диагонали BD
.
Решение. Через вершину C
проведём прямую, параллельную диагонали BD
, до пересечения с прямой AD
в точке K
. Стороны треугольника ACK
равны:
AC=13,~CK=BD=5\sqrt{17},
AK=AD+DK=AD+BC=24+8=32.
По формуле Герона
S_{\triangle ACK}=\frac{1}{4}\sqrt{(45+5\sqrt{17})(19+5\sqrt{17})(45-5\sqrt{17})(5\sqrt{17}-19)}=
=\frac{5}{4}\sqrt{(9^{2}-(\sqrt{17})^{2})((5\sqrt{17})^{2}-19^{2})}=\frac{5}{4}\cdot64=80.
Следовательно, S_{ABCD}=S_{\triangle ACK}=80
.