2058. В трапеции ABCD
точки K
и M
являются соответственно серединами оснований AB=5
и CD=3
. Найдите площадь трапеции, если треугольник AMB
— прямоугольный, а DK
— высота трапеции.
Ответ. 8.
Указание. Проведите медиану MK
прямоугольного треугольника AMB
.
Решение. Заметим, что в треугольнике AMB
прямой угол при вершине M
(в противном случае MA
или MB
перпендикулярно AB
, что невозможно).
Отрезок MK
— медиана прямоугольного треугольника AMB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
MK=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}
(см. задачу 1109). Из прямоугольного треугольника KDM
находим, что
DK=\sqrt{MK^{2}-DM^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}-\frac{9}{4}}=2.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{AB+DC}{2}\cdot MP=4\cdot2=8.