2096. В трапеции MNPQ
(MQ\parallel NP
) угол NQM
в два раза меньше угла MPN
. Известно, что NP=MP=\frac{13}{2}
, MQ=12
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{185}{8}
.
Решение. Точки M
и N
лежат на окружности радиуса \frac{13}{2}
с центром в вершине P
. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно PN
, вторично пересекает эту окружность в точке Q_{1}
. Тогда вписанный угол MQ_{1}N
равен половине соответствующего центрального угла MPN
, т. е.
\angle MQ_{1}N=\frac{1}{2}MPN=\angle MQN,
значит, точка Q
совпадает с точкой Q_{1}
, а PQ=PM=\frac{13}{2}
.
Пусть PH
— высота равнобедренного треугольника MPQ
. Тогда H
— середина основания MQ
. По теореме Пифагора
PH=\sqrt{PQ^{2}-QH^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}-36}=\frac{5}{2}.
Следовательно,
S_{MNPQ}=\frac{PN+MQ}{2}\cdot PH=\frac{\frac{13}{2}+12}{2}\cdot\frac{5}{2}=\frac{185}{8}.
