2097. В трапеции ABCD
основание BC
равно 13, а угол BAD
острый и вдвое больше угла ADC
. Окружность с центром на прямой BC
касается прямых AC
, AD
и отрезка CD
. Найдите площадь трапеции ABCD
, если известно, что радиус окружности равен 5.
Ответ. \frac{315}{2}
.
Указание. Докажите, что AC
— биссектриса угла BAD
и найдите \cos\angle BAD
.
Решение. Данная окружность — вневписанная окружность треугольника CAD
, касающаяся стороны CD
и продолжений сторон AC
и AD
. Пусть \angle ADC=\alpha
, \angle BAD=2\alpha
, O
— центр окружности, P
и Q
— проекции вершин B
и C
меньшего основания трапеции на AD
, M
— точка касания с прямой AD
, K
— с прямой AC
.
Поскольку CO
— биссектриса угла KCD
, то
\angle BCA=\angle KCO=\angle OCD=\angle CDA=\alpha,~\angle CAD=\angle BCA=\alpha,
и треугольники ABC
и ACD
— равнобедренные. Тогда
AB=BC=13,~BP=OM=5,
AP=\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12,
\cos2\alpha=\cos\angle BAP=\frac{AP}{AB}=\frac{12}{13},
\tg\angle CDA=\tg\alpha=\sqrt{\frac{1-\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}}=\frac{1}{5},
DQ=CQ\ctg\alpha=5\cdot5=25,
AD=AP+PQ+QD=12+13+25=50.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BP=\frac{1}{2}(50+13)\cdot5=\frac{315}{2}.