2106. Высота BL
ромба ABCD
, опущенная на сторону AD
, пересекает диагональ AC
в точке E
. Найдите AE
, если известно, что BL=8
, AL:LD=3:2
.
Ответ. 3\sqrt{5}
.
Указание. AE
— биссектриса треугольника BAL
.
Решение. Поскольку AE
— биссектриса треугольника BAL
, то
\frac{BE}{EL}=\frac{AB}{AL}=\frac{AD}{AL}=\frac{5}{3}.
Поэтому EL=\frac{3}{8}BL=3
.
Пусть AL=3x
, AB=5x
. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABL
находим, что
AB^{2}=AL^{2}+BL^{2},~\mbox{или}~25x^{2}=9x^{2}+64.
Поэтому x=2
, AL=3x=6
. Следовательно,
AE=\sqrt{AL^{2}+EL^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.