2118. Средняя линия KL
равностороннего треугольника ABC
является также средней линией треугольника DEF
, у которого вершина D
лежит на отрезке AC
, а вершина F
на продолжении стороны AC
за точку C
. Площадь четырёхугольника DKLC
составляет \frac{3}{8}
площади треугольника DEF
. Найдите угол EDF
.
Ответ. \pi-\arctg\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Пусть P
— проекция точки K
на AC
. Докажите, что DP=\frac{1}{2}AC
.
Решение. Заметим, что точки B
и E
лежат по одну сторону от прямой AC
, а треугольники ABC
и DEF
равновелики, так как у них равны основания (AC=DF
) и высоты. Поэтому
S_{\triangle DKA}=S_{CLKA}-S_{DKLC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}-\frac{3}{8}S_{\triangle EDF}=
=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}-\frac{3}{8}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{8}S_{\triangle ABC}.
Пусть P
— проекция точки K
на AC
. Тогда
S_{\triangle DKP}=S_{\triangle DKA}-S_{\triangle PKA}=\frac{3}{8}S_{\triangle ABC}-\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}.
Обозначим AC=a
. Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4},~KP=\frac{a\sqrt{3}}{4},~\frac{1}{2}DP\cdot KP=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC},~\mbox{или}~\frac{1}{2}DP\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}.
Отсюда находим, что DP=\frac{a}{2}
. Следовательно,
\tg\angle KDA=\frac{KP}{PD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2},~\angle EDF=180^{\circ}-\angle KDA=180^{\circ}-\arctg\frac{\sqrt{3}}{2}.