2125. В прямоугольном треугольнике ABC
(\angle C=90^{\circ}
) проведены высота CD
и медиана CE
. Площади треугольников ABC
и CDE
равны соответственно 10 и 3. Найдите AB
.
Ответ. 5\sqrt{2}
.
Указание. \frac{DE}{AB}=\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{10}
.
Решение. Заметим, что
\frac{DE}{AB}=\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{3}{10}.
Положим DE=3x
, AB=10x
. Тогда (см. задачу 1109)
CE=AE=BE=5x,~CD=\sqrt{CE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{25x^{2}-9x^{2}}=4x,
S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}DE\cdot DC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4x=6x^{2}=3.
Поэтому
x=\frac{1}{\sqrt{2}}~\Rightarrow~AB=10x=5\sqrt{2}.
