2146. Окружность, построенная на стороне AC
треугольника ABC
как на диаметре, проходит через середину стороны BC
и пересекает в точке D
продолжение стороны AB
за точку A
, причём AD=\frac{2}{3}AB
. Найдите площадь треугольника ABC
, если AC=1
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{6}
.
Решение. Пусть M
— середина BC
. Диаметр AC
виден из точки M
под прямым углом, значит, AM
— высота и медиана треугольника ABC
, поэтому этот треугольник — равнобедренный, AB=AC=1
. Тогда
AB=AC=1,~AD=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3},~BD=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}.
а так как BC\cdot BM=BA\cdot BD
, то 2BM^{2}=\frac{5}{3}
, BM=\sqrt{\frac{5}{6}}
. Поэтому
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{1-\frac{5}{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AM=BM\cdot AM=\sqrt{\frac{5}{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{6}.
