2182. В прямоугольном треугольнике ABC
расположен прямоугольник EKMP
так, что сторона EK
лежит на гипотенузе BC
, а вершины M
и P
— на катетах AC
и AB
соответственно. Катет AC
равен 3, а катет AB
равен 4. Найдите стороны прямоугольника EKMP
, если его площадь равна \frac{5}{3}
, а периметр меньше 9.
Ответ. 2, \frac{5}{6}
.
Указание. Обозначьте PE=MK=x
и выразите через x
отрезки EB
и CK
.
Решение. Из условия задачи следует, что
BC=\sqrt{AC^{2}+AB^{2}}=5,~\tg\angle B=\tg\angle CMK=\frac{3}{4}.
Обозначим MK=PE=x
. Поскольку S_{MPEK}=\frac{5}{3}
, то MP=KE=\frac{5}{3x}
.
Из прямоугольных треугольников PEB
и CKM
находим, что
BE=\frac{PE}{\tg\angle B}=\frac{4x}{3},~CK=MK\tg\angle CMK=\frac{3x}{4}.
Поскольку CK+KE+EB=CB
, то
\frac{3x}{4}+\frac{5}{3x}+\frac{4x}{3}=5.
Из этого уравнения находим, что x=2
или x=\frac{2}{5}
. Второе решение не удовлетворяет условию P_{EKMP}\lt9
. Следовательно,
PE=MK=2,~MP=KE=\frac{5}{6}.