2205. В трапеции ABCD
одно основание в два раза больше другого. Меньшее основание равно c
. Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом, а отношение боковых сторон равно k
. Найдите боковые стороны трапеции.
Ответ. c\sqrt{1+k^{2}}
, kc\sqrt{1+k^{2}}
.
Указание. Выразите боковые стороны трапеции через квадраты отрезков, на которые диагонали трапеции делятся их точкой пересечения.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
трапеции ABCD
, BC=c
, AD=2c
. Обозначим CD=x
. Тогда AB=kx
. Пусть OC=a
, OB=b
. Тогда из подобия треугольников AOD
и COB
следует, что AO=2a
, OD=2b
.
По теореме Пифагора из треугольников AOB
и COD
находим, что
AB^{2}=OB^{2}+OA^{2},~CD^{2}=OC^{2}+OD^{2},
или
k^{2}x^{2}=b^{2}+4a^{2},~x^{2}=a^{2}+4b^{2}.
Сложив эти два равенства, получим, что
k^{2}x^{2}+x^{2}=x^{2}(k^{2}+1)=5(a^{2}+b^{2}).
Из прямоугольного треугольника BOC
следует, что a^{2}+b^{2}=c^{2}
. Поэтому x^{2}(k^{2}+1)=5c^{2}
. Следовательно,
CD=x=c\sqrt{1+k^{2}},~AB=kx=kc\sqrt{1+k^{2}}.