2211. В прямоугольном треугольнике ABC
гипотенуза AB
равна c
и \angle ABC=\alpha
. Найдите все медианы в этом треугольнике.
Ответ. \frac{c}{2}
, \frac{c\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}}{2}
, \frac{c\sqrt{1+3\sin^{2}\alpha}}{2}
.
Указание. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Решение. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), то медиана CK
равна \frac{c}{2}
.
Пусть M
— середина BC
. Тогда
CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB\sin\alpha=\frac{1}{2}c\sin\alpha.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACM
находим, что
AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}}=\frac{1}{2}c\sqrt{4\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}=
=\frac{1}{2}c\sqrt{4\cos^{2}\alpha+1-\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{2}c\sqrt{1+3\cos^{2}\alpha}.
Аналогично находим медиану BN
.