2240. Дан параллелограмм ABCD
со сторонами AB=2
и BC=3
. Найдите площадь этого параллелограмма, если известно, что диагональ AC
перпендикулярна отрезку BE
, соединяющему вершину B
с серединой E
стороны AD
.
Ответ. \sqrt{35}
.
Указание. Найдите отношение \frac{BO}{OE}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения отрезков AC
и BE
. Из подобия треугольников BOC
и EOA
следует, что BO=2OE
и OC=2OA
. Обозначим OE=x
, AO=y
. Тогда BO=2x
. Из прямоугольных треугольников AOB
и AOE
по теореме Пифагора находим, что
\syst{4x^{2}+y^{2}=4\\x^{2}+y^{2}=\frac{9}{4}.\\}
Из этой системы находим, что x=\frac{7}{2\sqrt{3}}
, y=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}
. Тогда
S_{\triangle AOE}=\frac{1}{2}xy=\frac{\sqrt{35}}{12},~S_{\triangle ABE}=3S_{\triangle AOE}=\frac{\sqrt{35}}{4}.
Следовательно,
S_{ABCD}=4S_{\triangle ABE}=\sqrt{35}.