2253. Докажите, что если сумма квадратов расстояний от некоторой точки плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма равна сумме квадратов расстояний от этой точки до двух других вершин, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Решение. Пусть ABCD
— параллелограмм, M
точка плоскости, для которой MA^{2}+MC^{2}=MB^{2}+MD^{2}
, P
и Q
— проекции точки M
на прямые AD
и BC
соответственно. Рассмотрим случай, когда точки P
и Q
оказались на сторонах параллелограмма. Тогда
MA^{2}-AP^{2}=MD^{2}-DP^{2},~MB^{2}-BQ^{2}=MC^{2}-CQ^{2}.
Вычитая из первого равенства второе, получим, что
MA^{2}-MB^{2}+BQ^{2}-AP^{2}=MD^{2}-MC^{2}+CQ^{2}-DP^{2},
а так как MA^{2}-MB^{2}=MD^{2}-MC^{2}
, то
BQ^{2}-AP^{2}=CQ^{2}-DP^{2},~BQ^{2}-CQ^{2}=AP^{2}-DP^{2},
(BQ-CQ)(BQ+CQ)=(AP-DP)(AP+DP),~(BQ-CQ)BC=(AP-DP)AD,
BQ-CQ=AP-DP,~(BC-CQ)-CQ=(AD-DP)-DP,~CQ=DP.
Значит, CDPQ
— параллелограмм с прямым углом при вершине P
, т. е. прямоугольник. Следовательно, ABCD
— также прямоугольник.
Аналогично для остальных случаев.