2254. Вершины треугольника соединены с центром вписанной окружности. Проведёнными отрезками площадь треугольника разделилась на три части, равные 28, 60 и 80. Найдите стороны треугольника.
Ответ. 14, 30 и 40.
Указание. Примените формулу Герона.
Решение. Пусть a
, b
и c
— искомые стороны треугольника, являющиеся основаниями треугольников с площадями 28, 60 и 80 соответственно, r
— радиус вписанной окружности треугольника. Тогда
\frac{1}{2}ar=28,~\frac{1}{2}br=60,~\frac{1}{2}cr=80.
Из этих равенств выразим a
, b
и c
через r
:
a=\frac{56}{r},~b=\frac{120}{r},~c=\frac{160}{r}.
По формуле Герона выразим через r
площадь данного треугольника:
28+60+80=\sqrt{\frac{168}{r}\cdot\frac{112}{r}\cdot\frac{48}{r}\cdot\frac{8}{r}}.
Из полученного уравнения находим, что r=4
. Следовательно, a=14
, b=30
, c=40
.