2263. В сегмент с дугой 120^{\circ}
и высотой h
вписан прямоугольник ABCD
, причём AB:BC=1:4
(BC
лежит на хорде). Найдите площадь прямоугольника.
Ответ. \frac{36h^{2}}{25}
.
Указание. Докажите, что радиус окружности равен 2h
и примените теорему Пифагора к треугольнику с вершинами: в центре окружности, в середине большей стороны прямоугольника и в вершине, принадлежащей этой стороне.
Решение. Обозначим AB=x
. Тогда AD=4x
. Пусть O
— центр окружности, а радиус, перпендикулярный хорде данного сегмента, пересекает BC
в точке K
, а AD
— в точке M
. Тогда K
и M
— середины отрезков BC
и AD
.
Если R
— радиус окружности, то OK=\frac{R}{2}
как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30^{\circ}
. Поэтому h+\frac{R}{2}=R
. Следовательно, R=2h
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OMD
. По теореме Пифагора
(x+h)^{2}+4x^{2}=4h^{2}.
Отсюда находим, что x=\frac{3h}{5}
. Следовательно,
S_{ABCD}=4x^{2}=\frac{36h^{2}}{25}.