2270. Известно, что a
, b
и c
— длины сторон треугольника. Докажите, что
\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\geqslant3.
Указание. Обозначьте b+c-a=x
, c+a-b=y
, a+b-c=z
. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2
Решение. Обозначим
b+c-a=x,~c+a-b=y,~a+b-c=z.
Из неравенства треугольника следует, что x\gt0
, y\gt0
, z\gt0
. Поскольку
a=\frac{y+z}{2},~b=\frac{x+z}{2},~c=\frac{x+y}{2},
а сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2, то
\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=
=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)=
=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right)\geqslant\frac{1}{2}(2+2+2)=3,
что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью Р.Алексеева и Л.Курляндчика «Стороны треугольника», Квант, 1993, N9/10, с.69-70.