2281. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
постройте такую точку M
, что прямая, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из M
на прямые AB
и AC
, параллельна BC
.
Решение. Пусть перпендикуляры к сторонам AB
и AC
пересекаются в точке P
, а луч AP
пересекает сторону BC
в точке M
. Докажем, что точка M
— искомая.
Рассмотрим гомотетию с центром A
, при которой точка P
переходит в M
. При этой гомотетии точки B
и C
переходят в некоторые точки K
и L
, лежащие на лучах AB
и AC
соответственно, а перпендикуляры PB
и PC
к сторонам AB
и AC
— в перпендикуляры MK
и ML
к этим сторонам, а так как прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, то KL\parallel BC
. Что и требовалось доказать.