2284. Внутри квадрата ABCD
взята точка E
. Пусть ET
— высота треугольника ABE
, K
— точка пересечения прямых DT
и AE
, M
— точка пересечения прямых CT
и BE
. Докажите, что отрезок KM
— сторона квадрата, вписанного в треугольник ABE
.
Решение. Обозначим AB=a
, ET=h
. Треугольник EKT
подобен треугольнику AKD
, а треугольник EMT
— треугольнику BMC
, поэтому
\frac{EK}{AK}=\frac{ET}{AD}=\frac{h}{a},~\frac{EM}{BM}=\frac{ET}{BC}=\frac{h}{a},~
значит, KM\parallel AB
. Тогда треугольник EKM
подобен треугольнику EAB
, причём коэффициент подобия равен \frac{EK}{EA}=\frac{EK}{EK+AK}=\frac{h}{a+h}
. Следовательно, KM=AB\frac{h}{a+h}=\frac{ah}{a+h}
.
Пусть x
— сторона квадрата PQRS
, вписанного в треугольник ABE
так, что PQ\parallel AB
. Тогда из подобия треугольников EPQ
и EAB
следует, что \frac{x}{a}=\frac{h-x}{h}
, откуда находим, что PQ=x=\frac{ah}{a+h}=KM
. Отсюда следует утверждение задачи.