2288. На сторонах BC
, AC
и AB
остроугольного треугольника ABC
взяты соответственно точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
так, что лучи A_{1}A
, B_{1}B
и C_{1}C
являются биссектрисами углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Докажите, что AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
.
Решение. Проведём биссектрисы внешних углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B_{1}
и C_{1}
пересекаются в точке A_{2}
. Аналогично определяются точки B_{2}
и C_{2}
.
Поскольку биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника пересекаются в одной точке, биссектриса угла A_{1}
(т. е. луч AA_{1}
) также проходит через точку A_{2}
. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны, поэтому прямая AA_{1}
перпендикулярна биссектрисе внешнего угла при вершине A_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, A_{2}A_{1}
— высота треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
. Аналогично B_{2}B_{1}
и C_{2}C_{1}
— высоты треугольника A_{2}B_{2}C_{2}
.
Докажем, что треугольник A_{2}B_{2}C_{2}
совпадает с треугольником ABC
. Пусть это не так, например, точка A_{2}
находится вне треугольника ABC
.
Воспользуемся следующим утверждением: если прямая пересекает сторону треугольника и не проходит ни через одну из вершин, то она пересекает ещё ровно одну сторону треугольника (см. задачу 806).
Луч A_{2}B_{2}
пересекает сторону AB
треугольника ABB_{1}
(в точке C_{1}
) и не пересекает сторону AB_{1}
(их разделяет прямая A_{2}A_{1}
). Следовательно, он пересекает сторону BB_{1}
, т. е. точка B_{2}
расположена внутри отрезка BB_{1}
, а значит, внутри треугольника ABC
(B_{2}
лежит на BB_{1}
как точка пересечения биссектрис двух внешних и третьего внутреннего углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
). Аналогично C_{2}
находится внутри треугольника ABC
. Но отрезок B_{2}C_{2}
пересекает сторону BC
в точке A_{1}
. Противоречие.
Аналогично к противоречию ведёт предположение о том, что точка A_{2}
расположена внутри треугольника ABC
.
Точно так же для точек B_{2}
и C_{2}
.