2295. Дан отрезок длины \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}
. Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой нет делений) отрезок длины 1?
Ответ. Можно.
Решение. Обозначим \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}=a
. Построим отрезки a\sqrt{2}
(как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами a
и a
), a\sqrt{3}
(как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами a
и a\sqrt{2}
) и a\sqrt{5}
(как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами a\sqrt{2}
и a\sqrt{3}
). Затем построим сумму построенных отрезков, т. е. отрезок
b=a\sqrt{2}+a\sqrt{3}+a\sqrt{5}=a(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})=a^{2}.
Поскольку \frac{b}{a}=\frac{a}{1}
, отрезок длины 1 можно построить как четвёртое пропорциональное по трём данным отрезкам b
, a
и a
: на одной стороне неразвёрнутого угла с вершиной A
отложим последовательно отрезки AB=b
и BC=a
, а на второй стороне — отрезок AD=a
. Через точку C
проведём прямую, параллельную BD
. Эта прямая пересекает вторую сторону угла в точке E
. При этом DE=1
.