2317. Дан треугольник ABC
. В нём R
— радиус описанной окружности, r
— радиус вписанной окружности, a
— длина наибольшей стороны, h
— длина наименьшей высоты. Докажите, что \frac{R}{r}\gt\frac{a}{h}
.
Решение. Хорда окружности не меньше диаметра, поэтому 2R\geqslant a
. Диаметр вписанной окружности треугольника меньше любой его высоты, поэтому 2r\lt h
. Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{2R}{2r}\geqslant\frac{a}{2r}\gt\frac{a}{h}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение верно для любой стороны треугольника и опущенной на неё высоты, т. е. \frac{R}{r}\gt\frac{a}{h_{a}}
.
Действительно, если S
— площадь треугольника, две другие его стороны равны b
и c
, а угол, противолежащий стороне a
равен \alpha
, то
2S=ah_{a}=r(a+b+c)=r(a+(b+c))\gt2ar~\Rightarrow~
~\Rightarrow~Rh_{a}=\frac{a}{2\sin\alpha}\cdot h_{a}=\frac{ah_{a}}{2\sin\alpha}=\frac{2S}{2\sin\alpha}\gt\frac{2ar}{2\sin\alpha}=\frac{ar}{\sin\alpha}\geqslant ar.
Следовательно, \frac{R}{r}\gt\frac{a}{h_{a}}
.