2327. В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите, что этот треугольник тупоугольный.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины сторон соответственно AB
, BC
и AC
треугольника ABC
.
Предположим, что средняя линия MN
больше медианы AN
. Тогда в треугольнике AMN
против большей стороны MN
лежит больший угол MAN
, т. е. \angle MAN\gt\angle AMN
. Поэтому \angle AMN\lt90^{\circ}
. Следовательно,
\angle BAC=180^{\circ}-\angle AMN\gt180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}.
Аналогично для случая MN\gt CM
.
Пусть теперь MN\gt BK
. Поскольку AK=\frac{1}{2}AC=MN
, в треугольнике ABK
против большей стороны BK
лежит больший угол ABK
, т. е. \angle ABK\gt\angle BAK
. Аналогично \angle CBK\gt\angle BCK
. Значит,
\angle ABC=\angle ABK+\angle CBK\gt\angle BAK+\angle BCK=\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ}-\angle ABC,
откуда находим, что 2\angle ABC\gt180^{\circ}
. Следовательно, \angle ABC\gt90^{\circ}
.