2331. Пусть ABC
— остроугольный треугольник, C'
и A'
— произвольные точки на сторонах AB
и BC
соответственно, B'
— середина стороны AC
.
а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C'
не больше половины площади треугольника ABC
.
б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C'
равна четверти площади треугольника ABC
тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A'
, C'
совпадает с серединой соответствующей стороны.
Решение. Первый способ. а) Будем двигать точку C'
по стороне AB
от точки A
к точке B
. При этом высота треугольника A'B'C'
, опущенная из вершины C'
, будет оставаться неизменной (если A'B'\parallel AB
), либо убывать (если точка A'
ближе к B
, чем к C
), либо возрастать. Поэтому площадь S_{\triangle A'B'C'}
заключена между S_{\triangle A'B'A}
и S_{\triangle A'B'B}
. Но
S_{\triangle A'B'A}=\frac{1}{2}S_{\triangle A'CA}\leqslant S_{\triangle A'B'C'}
и
S_{\triangle A'B'B}\leqslant S_{\triangle BB'C}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}.
б) Пусть A''
и C''
— середины сторон соответственно BC
и AB
. Если A'
совпадает с A''
, то AB\parallel A'B'
и
S_{\triangle A'B'C'}=S_{\triangle A''B'C''}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}.
Если же A'
не совпадает с A''
, то прямые AB
и A'B'
не параллельны, поэтому площадь S_{\triangle A'B'C'}
монотонно изменяется при движении точки C'
по стороне AB
и, следовательно, может принять значение \frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
только при одном положении точки C'
(при C'=C''
).
Второй способ. Примем площадь треугольника ABC
за единицу. Пусть
\frac{BC'}{C'A}=\frac{x}{1-x},~\frac{BA'}{A'C}=\frac{y}{1-y},
где 0\leqslant x\leqslant1
, 0\leqslant y\leqslant1
. Тогда
S_{\triangle AB'C'}=\frac{1-x}{2},~S_{\triangle A'B'C}=\frac{1-y}{2},~S_{\triangle A'BC'}=xy,
S_{\triangle A'B'C'}=1-S_{\triangle AB'C'}-S_{\triangle A'B'C}-S_{\triangle A'BC'}=\frac{x+y}{2}-xy=
=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{1}{2}-y\right).
Теперь утверждение б) очевидно, а утверждение а) сводится к проверке неравенства \left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{1}{2}-y\right)\geqslant-\frac{1}{4}
, которое следует из неравенств
\left|\frac{1}{2}-x\right|\leqslant\frac{1}{2},~\left|\frac{1}{2}-y\right|\leqslant\frac{1}{2}.