2344. В окружность радиуса 2 вписан остроугольный треугольник A_1A_2A_3
. Докажите, что на дугах A_1A_2
, A_2A_3
, A_3A_1
можно отметить по одной точке (B_1
, B_2
, B_3
соответственно) так, чтобы площадь шестиугольника A_1B_1A_2B_2A_3B_3
численно равнялась периметру треугольника A_1A_2A_3
.
Решение. Пусть точки B_{1}
, B_{2}
, B_{3}
— середины дуг A_1A_2
, A_2A_3
, A_3A_1
соответственно, O
— центр окружности.
Площадь шестиугольника A_1B_1A_2B_2A_3B_3
равна сумме площадей четырёхугольников OA_{1}B_{1}A_{2}
, OA_{2}B_{2}A_{3}
и OA_{3}B_{3}A_{1}
, Но у этих четырёхугольников диагонали перпендикулярны, а значит, площадь каждого равна половине произведения его диагоналей. Искомая сумма равна тогда
\frac{1}{2}OB_{1}\cdot A_{1}A_{2}+\frac{1}{2}OB_{2}\cdot A_{2}A_{3}+\frac{1}{2}OB_{3}\cdot A_{3}A_{1}.
Поскольку по условию OB_{1}=OB_{2}=OB_{3}=2
, эта сумма численно равна A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+A_{3}A_{1}
. Что и требовалось доказать.