2351. Боковые стороны
AB
и
CD
трапеции
ABCD
являются соответственно хордами окружностей
\omega_{1}
и
\omega_{2}
, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг
AB
и
CD
равны
\alpha
и
\beta
. Окружности
\omega_{3}
и
\omega_{4}
также имеют хорды
AB
и
CD
соответственно. Их дуги
AB
и
CD
, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры
\beta
и
\alpha
. Докажите, что
\omega_{3}
и
\omega_{4}
тоже касаются.
Решение. Пусть
O
— точка пересечения прямых
AB
и
CD
,
\Omega_{1}
и
\Omega_{2}
— окружности, симметричные соответственно
\omega_{1}
и
\omega_{2}
относительно биссектрисы угла
AOD
. Рассмотрим окружности
\Omega_{4}
и
\Omega_{3}
, полученные из соответственно
\Omega_{1}
и
\Omega_{2}
инверсией относительно окружности с центром
O
и радиусом
R=\sqrt{OA\cdot OC}=\sqrt{OB\cdot OD}
. Они, очевидно, касаются.
Заметим, что при этом
\Omega_{4}
проходит через точки
C
и
D
. Действительно, если
K
и
L
— точки симметричные точкам соответственно
B
и
A
относительно биссектрисы угла
AOD
, то
OK=OB
и
OL=OA
, поэтому
OK\cdot OD=OB\cdot OD=R^{2}
и
OL\cdot OC=OA\cdot OC=R^{2}
. Значит, при рассматриваемой инверсии точка
K
переходит в
D
, а точка
L
— в
C
.
В то же время, окружность
\Omega_{4}
может быть получена из
\Omega_{1}
не только инверсией, но и гомотетией с центром
O
и коэффициентом
\frac{OD}{OL}=\frac{OD}{OA}=\frac{OC}{OB}=\frac{OC}{OK}
. Поэтому градусная мера дуги
CD
в
\Omega_{4}
равна
\alpha
. Следовательно,
\Omega_{4}
совпадает с
\omega_{4}
. Аналогично,
\Omega_{3}
совпадает с
\omega_{3}
.