2354. Дан выпуклый четырёхугольник и точка M
внутри него. Докажите, что сумма расстояний от точки M
до вершин четырёхугольника не превосходит P+d_{1}+d_{2}
, где P
— периметр, d_{1}
, d_{2}
— длины диагоналей четырёхугольника.
Решение. Лемма. Пусть M
— точка в треугольнике ABC
(возможно, на стороне), отличная от вершины C
. Тогда AM+BM\lt AC+BC
.
Доказательство. Если M
лежит на одной из сторон треугольника, то очевидно, неравенство выполняется. Пусть M
не лежит на стороне треугольника (рис. 1). Продолжим AM
до пересечения со стороной BC
в точке L
. Тогда, применяя неравенство треугольника к треугольникам ACL
и BLM
, получим, что
AC+BC=AC+CL+BL\gt AL+BL=AM+ML+BL\geqslant AM+BM.
Лемма доказана.
Вернёмся к исходной задаче. Пусть диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Точка M
лежит в одном из треугольников AOB
, BOC
, COD
, DOA
. Без ограничения общности можем считать, что она лежит в AOB
(рис. 2). Из леммы следует, что
AM+MC\lt AB+BC,~BM+MD\lt AD+AB.
Тогда
AM+BM+CM+DM\lt AB+BC+AD+AB=P+AB-CD\lt
\lt P+AB+CD\lt P+OA+OB+OC+OD=
=P+(OA+OC)+(OB+BD)=P+d_{1}+d_{2}.
Что и требовалось доказать.