2377. Пусть в прямоугольном треугольнике AB
и AC
— катеты, AC\gt AB
. На AC
выбрана точка E
, а на BC
— точка D
, причём AB=AE=BD
. Докажите, что треугольник ADE
будет прямоугольным в том и только в том случае, если стороны треугольника ABC
относятся как 3:4:5
.
Решение. Пусть треугольник ADE
прямоугольный. Заметим, что прямым может быть только угол ADE
. Обозначим AB=AE=BD=R
.
Продолжим отрезок ED
до пересечения с продолжением катета AB
в точке K
. Точка D
лежит на окружности с диаметром AK=2R
. Через центр B
этой окружности проведём прямую, перпендикулярную AB
. Пусть эта прямая пересекается с прямой EK
в точке M
. Поскольку B
— середина AK
и BM\parallel AE
, отрезок BM
— средняя линия треугольника AKE
, поэтому BM=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}R
.
Обозначим CE=x
. Из подобия треугольников CDE
и BDM
следует, что
\frac{CE}{CD}=\frac{BM}{BD}=\frac{\frac{1}{2}R}{R}=\frac{1}{2},
поэтому CD=2CE=2x
. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC
со сторонами AC=AE+CE=R+x
, BC=BD+CD=R+2x
и AB=R
, получим уравнение R^{2}+(R+x)^{2}=(R+2x)^{2}
, из которого находим, что R=3x
. Тогда AC=R+x=4x
, AB=R=3x
, BC=R+2x=5x
. Следовательно, AB:AC:BC=3:4:5
.
Пусть теперь о прямоугольном треугольника ABC
известно, что AB=3x
, AC=4x
, BC=5x
, а точки E
и D
, расположенные соответственно на катете AC
и гипотенузе BC
таковы, что AE=BD=AB=3x
.
Обозначим \angle ABC=\beta
, Тогда
\cos\beta=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5},~\cos\angle C=\sin\beta=\frac{4}{5}.
По теореме косинусов из треугольников ABD
и CDE
находим, что AD=\frac{6x}{\sqrt{5}}
и DE=\frac{3x}{\sqrt{5}}
, а так как
AD^{2}+DE^{2}=\frac{36x^{2}}{5}+\frac{9x^{2}}{5}=9x^{2}=AE^{2},
то \angle ADE=90^{\circ}
.