2386. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
выбраны точки K
и L
соответственно. Оказалось, что BL=CK
и \angle BKC=\angle CLK
. Кроме того, прямая AC
касается окружности, описанной около треугольника BCK
. Докажите, что AL
— биссектриса угла BAC
.
Указание. Докажите, что KL\parallel AC
.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ACK=\angle CBK=\angle LBK
. Кроме того \angle AKC=\angle BLK
как углы смежные с равными углами BKC
и CLK
. Значит, треугольники ACK
и KBL
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому KL=AK
, \angle BKL=\angle KAC
, значит, KL\parallel AC
, и \angle KAL=\angle ALK=\angle CAL
. Следовательно, AL
— биссектриса угла BAC
. Что и требовалось доказать.