2452. Даны отрезок AB
и на нём точка C
. Найдите геометрическое место точек пересечения двух равных окружностей, одна из которых проходит через точки A
и C
, другая — через точки C
и B
.
Ответ. Серединный перпендикуляр к отрезку AB
без середины отрезка AB
, а также точка C
.
Указание. Если точка M
, отличная от точки C
и середины отрезка AB
, принадлежит искомому геометрическому месту точек, то треугольник AMB
— равнобедренный.
Решение. Если BC\gt AC
, то построим произвольную окружность, проходящую через точки B
и C
. Тогда существует окружность того же радиуса, проходящая через точки A
и C
. Аналогично для случая BC\leqslant AC
. Поэтому точка C
принадлежит искомому геометрическому месту.
Пусть M
— произвольная точка искомого геометрического места точек, отличная от C
, и от середины D
отрезка AB
. Тогда \angle MAB=\angle MBA
как углы, вписанные в равные окружности, и опирающиеся на равные дуги. Следовательно, треугольник AMB
— равнобедренный и точка M
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB
.
Пусть теперь P
— произвольная точка серединного перпендикуляра к отрезку AB
, отличная от его середины D
. Тогда радиусы окружностей, описанных около треугольников ACP
и BCP
, равны, так как
\frac{PC}{2\sin\angle PAC}=\frac{PC}{2\sin\angle PBC}.
Следовательно, точка P
принадлежит рассматриваемому геометрическому месту.