2463. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины.
Указание. Продолжение биссектрисы AD
треугольника ABC
пересекается с серединным перпендикуляром к стороне BC
на описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть AH
— его высота, AD
— биссектриса, AM
— медиана.
Заметим, что продолжение биссектрисы AD
и серединный перпендикуляр к стороне BC
проходят через середину E
дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
. Поэтому отрезок MH
— проекция отрезка AE
на прямую BC
, а так как точки A
и E
лежат по разные стороны от прямой BC
, то точка D
лежит между точками H
и M
.
Точка E
пересечения прямой AD
с серединным перпендикуляром к стороне BC
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Центр O
этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к стороне BC
и отрезку AE
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольной прямой строим точку H
, затем последовательно строим точки A
, D
, M
, E
, O
. Искомые вершины B
и C
треугольника ABC
являются точками пересечения исходной прямой с окружностью радиуса OA
с центром O
.