2468. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.
Указание. Стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам.
Решение. Первый способ. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— его высоты, проведённые из вершин A
, B
и C
соответственно, и при этом BC=a
, AC=b
, AB=c
. Тогда
2S_{\triangle ABC}=ah_{a}=bh_{b}=ch_{c}.
Следовательно, \frac{a}{h_{b}}=\frac{b}{h_{a}}
. Найдём такой отрезок x
, для которого
\frac{a}{h_{b}}=\frac{b}{h_{a}}=\frac{c}{x}.
Поскольку \frac{h_{b}}{h_{c}}=\frac{c}{b}
. то
x=\frac{c}{b}\cdot{h_{a}}=\frac{h_{b}}{h_{c}}\cdot h_{a}=\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}.
Таким образом
\frac{a}{h_{b}}=\frac{b}{h_{a}}=\frac{c}{\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}}.
Значит, треугольник ABC
подобен треугольнику со сторонами h_{a}
, h_{b}
, \frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}
по трём сторонам.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим отрезок x
такой, что x=\frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}
. Затем построим треугольник со сторонами h_{a}
, h_{b}
, \frac{h_{a}h_{b}}{h_{c}}
. Проведём в нём высоту к стороне, равной h_{b}
, и отложим на ней от вершины треугольника отрезок, равный h_{a}
. Через конец этого отрезка (отличный от вершины) проведём перпендикулярную ему прямую. Точки пересечения этой прямой с продолжениями сторон построенного треугольника есть вершины B
и C
искомого треугольника.
Второй способ. Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— данные высоты, соответствующие сторонам a
, b
и c
искомого треугольника. Выберем окружность и точку M
вне её так, чтобы из этой точки можно было провести к окружности секущие MXX_{1}
, MYY_{1}
и MZZ_{1}
, внешние части которых соответственно равны данным высотам, т. е. MX=h_{a},MY=h_{b}
и MZ=h_{c}
. Поскольку
h_{a}\cdot MX_{1}=h_{b}\cdot MY_{1}=h_{c}\cdot MZ_{1},
то отрезки MX_{1}
, MY_{1}
и MZ_{1}
соответственно пропорциональны сторонам a
, b
и c
искомого треугольника.
Построив треугольник, стороны которого равны отрезкам MX_{1}
, MY_{1}
и MZ_{1}
, проведём в нём высоту к стороне, равной отрезку MX_{1}
. Отложив на ней от вершины треугольника отрезок, равный данной высоте h_{a}
, получим основание высоты искомого треугольника. Остаётся провести через это основание прямую, перпендикулярную построенной высоте, до пересечения с продолжениями сторон построенного треугольника. Получим две другие вершины искомого треугольника.