2476. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник ABC
по двум высотам, проведённым из вершин B
и C
, и медиане, проведённой из вершины A
.
Указание. Проведите через середину стороны BC
перпендикуляры к прямым AB
и AC
.
Решение. Пусть BB_{1}=h_{1}
и CC_{1}=h_{2}
— высоты треугольника ABC
, AM=m
— медиана. Предположим, что треугольник ABC
построен. Опустим перпендикуляры MP
и MQ
на прямые AB
и AC
. Тогда MP
и MQ
— средние линии треугольников BC_{1}C
и BB_{1}C
. Поэтому
MP=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{1}{2}h_{2},~MQ=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{2}h_{1}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Построим прямоугольные треугольники APM
и AQM
(по катету и гипотенузе m
). Если точки P
и Q
окажутся по разные стороны от прямой AM
(рис. 1), то через точку M
проведём прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла PAQ
, делился бы точкой M
пополам (см. задачу 1232).
Если же точки P
и Q
окажутся по одну сторону от прямой AM
(рис. 2), например, луч AQ
проходит между сторонами угла MAP
, то точка M
окажется внутри угла P'AP
(точка P'
лежит на продолжении отрезка PA
за точку A
). Через точку M
проведём прямую, отрезок которой, заключённый внутри угла P'AQ
, делился бы точкой M
пополам. Получим второе решение.
Таким образом, если h_{1}\lt m
и h_{2}\lt m
, то задача имеет два решения. В противном случае задача решений не имеет.