2478. Постройте треугольник ABC
по высотам h_{a}
и h_{b}
, проведённым из вершин A
и B
, и медиане m_{a}
, проведённой из вершины A
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть M
— середина стороны BC
, AH=h_{a}
и BP=h_{b}
— высоты. Опустим перпендикуляр MD
на сторону AC
. Тогда MD
— средняя линия треугольника BPC
, а в прямоугольном треугольнике AHM
известны катет AH
и гипотенуза AM
. Отсюда вытекает следующее построение.
Если m_{a}=h_{a}
, то треугольник ABC
равнобедренный. На отрезке AM
как на диаметре строим окружность и проводим к ней касательную l
в точке M
. С центром в точке M
строим окружность радиуса \frac{h_{b}}{2}
. Пусть эти окружности пересекаются в различных точках D
и D'
(т. е. \frac{h_{b}}{2}\lt m_{a}
). Затем проводим прямые AD
и AD'
. Точки пересечения этих прямых с касательной l
— вершины соответственно C
и B
искомого треугольника ABC
.
Действительно, из построения следует, что треугольник ABC
симметричен относительной прямой AM
, значит, он равнобедренный. Кроме того, по построению AM=m_{a}=h_{a}
, а так как точка D
лежит на окружности с диаметром AM
, то MD\perp AC
. Если BP
— высота треугольника ABC
, то MD
— средняя линия треугольника BPD
, значит, BP=2MD=h_{b}
.
Если m_{a}\gt h_{a}
, то строим прямоугольный треугольник AHM
по гипотенузе AM=m_{a}
и катету MH=h_{a}
, Затем строим окружность с диаметром AM
и окружность с центром в точке M
радиуса \frac{h_{b}}{2}
. Пусть эти окружности пересекаются (т. е. \frac{h_{b}}{2}\lt m_{a}
), D
и D'
— точки пересечения, прямые AD
и MH
пересекаются в точке C
, а прямые AD'
и MH
— в точке C'
. Тогда точки, симметричные точкам C
и C'
относительно M
, есть искомые вершины B
и B'
, а треугольники ABC
и AB'C'
— искомые.
Действительно, AM=m_{a}=h_{a}
и AH=h_{a}
по построению, а так как точка D
лежит на окружности с диаметром AM
, то MD\perp AC
. Если BP
— высота треугольника ABC
, то MD
— средняя линия треугольника BPD
, значит, BP=2MD=h_{b}
. Аналогично для точки D'
.
Таким образом, если m_{a}\gt h_{a}
и m_{a}\gt\frac{h_{b}}{2}
, то задача имеет два различных решения. Если m_{a}=h_{a}
, то задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.