2479. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу и медиане и высоте, проведённым из вершины этого угла.
Указание. Достройте треугольник ABC
до параллелограмма, продолжив его медиану AM
на отрезок, равный этой медиане.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть угол A
равен данному, AM=m
— данная медиана, AH=h
— данная высота. На продолжении медианы AM
за точку M
отложим отрезок MA_{1}
, равный AM
. Тогда четырёхугольник ACA_{1}B
— параллелограмм. Поэтому
\angle ACA_{1}=180^{\circ}-\angle A.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник AMH
по катету AH
и гипотенузе AM
. На продолжении отрезка AM
за точку M
строим отрезок MA_{1}
, равный AM
. Затем на отрезке AA_{1}
как на хорде строим дугу, вмещающую угол, равный 180^{\circ}-\angle A
(см. задачу 2889). Пересечение этой дуги с прямой MH
даёт искомую вершину C
. Искомая вершина B
симметрична точке C
относительно точки M
.